Este tipo de
medidas
nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual
se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estas medidas
aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les
denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a
poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la
población. Los
principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la
media, la
mediana y la moda.
1. MEDIA
Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de
calcular,
debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo
algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja
radica en su
sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la
suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.
Ecuación 5-1
Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:
Ecuación 5- 2
Donde
(m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y
(Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la
mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las
ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para
las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como
Ecuación 5-3
Donde
(X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y
(Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula
únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso
contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los
diferentes valores por la
frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir,
Ecuación 5-4
Donde
(Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la
frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de
la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.
Para
entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad
de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41).
Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los
cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50
años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios
son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de
estos datos se representan en la tabla [5-1].
Figura 5-1
Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a
Lo
que nos indicaría que el promedio de edad de los encuestados es de 35
años. Si ha estos mismos resultados le aplicamos la ecuación para datos
desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como referencia cada uno de los
valores individuales, obtendríamos que la media es igual a
Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta
diferencia
se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud
de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para
evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite calcular las
Medias, como si se trataran de valores desagrupados, aunque tiene algunos procedimientos para valores agrupados.
Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la
Media geométrica, la
Media ponderada, la
Media cuadrática,
etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que
es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en
estos temas.
2. MEDIANA
Con esta medida podemos identificar el valor que
se encuentra
en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que
se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que
las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos
indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y
la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la
mediana se utiliza la fórmula
Ecuación 5-5
Para
comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada
de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:
Lo
que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera
posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario
contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de
observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la
serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la
serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,
Es
decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la
posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la
posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que
para el caso corresponden a (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la
mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad
se encuentra por encima de este valor.
En conclusión
la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones
iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las
muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la
mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada;
mientras que para las muestras con un número par de observaciones se
debe promediar los valores de las dos posiciones
centrales.
3. MODA
La
medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los
datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor
que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos.
Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la
mayor frecuencia, lo cual se denomina
Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como
multimodal.
En conclusión las
Medidas de tendencia central,
nos permiten identificar los valores más representativos de los datos,
de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La
Media
nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que
obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en
partes iguales. La
Mediana por el contrario nos informa el
valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales
cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la
Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.
¿Cuándo debe utilizarse cada uno?
La
media, la mediana o la moda puede ser la medida más apropiada de
tendencia central, según la naturaleza de los datos. A menudo, la media
es la medida más sencilla de tendencia central y es la que se utiliza
más comúnmente. Sin embargo, los números muy grandes o muy pequeños
dentro del conjunto pueden desviarse de su fiabilidad. En el ejemplo
anterior, 77 es mucho mayor que cualquiera de los otros números en el
conjunto. Como resultado, la media, 19,8, es mayor que todos los otros
números en el conjunto. La mediana puede utilizarse para corregir los
valores extremos muy grandes o muy pequeños. A pesar de que utilizamos
el mismo conjunto para encontrar la mediana, 14 parece ser mucho más
cercano a la mayoría de los números en el conjunto. La
moda es
la que más a menudo se utiliza cuando se trata de datos estadísticos
que no son fáciles de traducir a números. Por ejemplo, si en lugar de un
conjunto de números, te presentan con un conjunto de opiniones, votos o
respuestas de
examen, la media y la mediana
no serían aplicables. Al encontrar la moda, o el elemento más común en
el conjunto, se puede encontrar la respuesta "promedio".
Cálculo de media, mediana y moda datos NO agrupados
Cálculo de media, mediana y moda datos agrupados
